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圆内接四边形权威发布_圆内接n边形计算公式(2024年12月精准访谈)

内容来源：莱茵河北极图库所属栏目：观点更新日期：2024-11-30

圆内接四边形

九年级数学圆内接四边形重点难点练习 𐟓… 日期: 𐟖‹️ 姓名: 𐟏렧�纊 𐟔 变式1-2 (市南区二模) 如图，点D是圆上一点，C是弧ACB的中点。若LACB=116Ⱟ𜌥ˆ™BDC的度数是？ 𐟔 变式1-3 (碑林区校级模拟) 如图，在圆中，点D为AB的中点，CD为圆的直径，AE与BC交圆于点E。连接CE。若LECD=50Ⱟ𜌥ˆ™DCB=？ A. 10ⰊB. 15ⰊC. 20ⰊD. 25Ⰺ 𐟔 题型2圆内接四边形(求长度问题) 【例2】在圆内接四边形ABCD中，LA=60Ⱟ𜌁C为圆的直径，AD=3，CD=2，求BC的长。 𐟔 变式2-1 (盘锦) 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，D经过A,B,C四点，LACO=120Ⱓ€‚AB=4，则圆心点D的坐标是？ 𐟔 变式2-2 (南京期末) 如图，圆的半径长为4，弦AB的长为√2，点C在圆上，若LBAC=135Ⱟ𜌥ˆ™AC的长为？ 𐟔 变式2-3 （莒南县校级月考）如图，已知点A、B、C、D在已知圆上，ADBG，LADC=120Ⱟ𜌥œ†的半径为2。求证：AC是BCD的平分线；求圆内接四边形ABCD的周长。 𐟔 变式4-2 （滨湖区期中）如图，直线与圆相交于点B、D，点A、C是直线两侧的圆弧上的动点。若圆的半径为1，A=30Ⱟ𜌩‚㤹ˆ四边形ABCD的面积的最大值是？ 𐟔 变式4-3 （庐阳区校级模拟）如图，AB是圆的一条弦，C、D是圆上的两个动点，且在AB弦的异侧，连接CD。若AC=BG，AB平分LCBD，求证：AB=CD；若LADB=60Ⱟ𜌥œ†的半径为1，求四边形ACBD的面积最大值。

𐟔 探索勾股定理的多种证明方法 𐟓– 勾股定理，一个数学界的经典定理，有着多种多样的证明方法。让我们一同探索其中的16种经典证明方式，领略数学的魅力！ 𐟎证法6】（项明达证明）通过制作两个全等的直角三角形，并拼接成一个多边形，利用相似三角形的性质和勾股定理来证明。 𐟓【证法11】（利用切割线定理证明）在直角三角形中，利用切割线定理，通过切线的性质和勾股定理来证明。 𐟌【证法12】（利用多列米定理证明）通过多列米定理，利用圆内接四边形的性质和勾股定理来证明。 𐟔【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）通过直角三角形的内切圆，利用切点和半径的关系以及勾股定理来证明。 𐟚룀证法14】（利用反证法证明）采用反证法，假设勾股定理不成立，然后通过逻辑推理得出矛盾，从而证明定理的正确性。 𐟔【证法15】（辛卜松证明）通过正方形的面积计算和勾股定理来证明。这些证明方法不仅展示了数学的严谨性，也让我们对勾股定理有了更深刻的理解。每一种证明方法都有其独特的魅力和深意，值得我们深入探究。

《平面四边形面积最大化探秘》探索平面四边形ABCD面积的最大值，是一场数学思维的盛宴。通过连接对角线AC，利用余弦定理巧妙转化，我们发现了面积与角度之间的微妙关系。当四边形成为圆内接四边形时，面积达到巅峰，展现了数学之美与和谐。不论是复杂公式推导，还是直观的海伦公式应用，都让我们领略到数学的无限魅力与可能。

𐟓š 四点共圆的证明方法与判定技巧 𐟓 𐟔 四点共圆的基本性质四点共圆时，圆内接四边形的对角互补，即角度和为180度。如果四个点到某个点的距离相等，那么这四个点共圆。如果一个四边形的外角等于其内对角，那么这四个点共圆。 𐟓Œ 判定方法如果一个四边形的一组对角互补，那么这四个点共圆。如果两个点在一条线段同旁，并且这条线段两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆。如果同斜边的两个三角形顶点共线，那么这三个点共圆。 𐟓– 示例与证明在等边三角形ABC中，AB=6，P为AB上一动点，PDIBC于D，PEIAC于E，求DE的最小值。思路：要求DE的最小值，可以利用垂径定理，找到与半径的关系。连接PD和PE，取中点M，连接DM和EM。当P点最小时，DE也最小。利用三角函数和等边三角形的性质，可以求出DE的最小值。 𐟔砨˜Ž技巧利用同弧所对的圆周角相等原理，证明四点共圆。利用四边形对角互补的性质，证明四点共圆。利用外角等于内对角的性质，证明四点共圆。 𐟓š 通过这些性质和判定方法，我们可以轻松证明四点共圆的问题。希望这些技巧能帮助你更好地理解几何问题！

九年级上册数学知识点：圆 ### 圆的基本性质 𐟌ˆ 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。以点O为圆心的圆，记作“Q”，读作“圆Q”。圆的有关概念 𐟌 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。直径：经过圆心的弦叫做直径。弧的有关概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”。半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。优弧：大于半圆的弧叫做优弧。劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧。垂直于弦的直径 ⊥ 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。弧、弦、圆心角的关系 𐟌𑊥œ†心角定义：如图所示，AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角。圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对的其余各对量也相等。圆周角 𐟌 圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90Ⱗš„圆周角所对的弦是直径。圆内接多边形 𐟔𙊤𘀤𘪥››边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。圆内接四边形的对角互补。圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）。点和圆、直线与圆的位置关系 𐟌Ÿ 点和圆的位置关系：设O的半径为r，点P到圆心的距离OPd，则有：点P在圆外：d>r 点P在圆上：d=r 点P在圆内：d

【圆中的相似模型】 (1)圆周角定理推论(直径所对圆周角为90Ⱟ𜛥Œ弧所对圆周角相等) (2)圆的内接四边形对角互补(通常是圆内外两个三角形相似) (3)已知线段比例关系，利用公共角及两边对应成比例证相似

初中数学几何辅助线全攻略，轻松掌握！初中数学几何中，辅助线的添加是解题的关键。以下是各种与圆相关的辅助线类型，帮助你轻松应对各类几何问题。与圆有关的辅助线类型 𐟓 连半径构造圆心角：通过连接半径来构造圆心角，方便计算角度。构造同弧所对的圆周角：利用同弧所对的圆周角相等，简化计算。构造圆的内接四边形：通过内接四边形来证明或计算圆的性质。构造特殊三角形：利用特殊三角形来求解或证明圆的性质。与垂径定理有关的辅助线：利用垂径定理来证明或计算圆的性质。与切线有关的辅助线：通过切线来证明或计算圆的性质。内切圆与外接圆常作的辅助线：利用内切圆和外接圆的性质来解题。辅助圆：构造辅助圆来证明或计算圆的性质。中考切线真题辅助线：针对中考真题的切线辅助线，帮助你掌握解题技巧。数学提分小技巧 𐟓ˆ 课上的听讲理解胜于做好课堂数学笔记：数学是一门靠理解的学科，更侧重于能听得懂以及听的全。记笔记可以选择性纪录，不是一味的全部写，如果对笔记的完整性有要求，可以在课间完成。学会思考，学会提问：例题的作用是促进我们思考和巩固知识点、会一道题可以知其然知其所以然，便于举一反三，对于不同的经典例题一定要吃透。错题定期复习，定期重做：定期复习和重做错题，效果会比想象好很多。通过这些方法和技巧，你可以更好地掌握初中数学几何的辅助线添加方法，提升解题能力。

AMC10/12与AIME考试区别详解 1️⃣ 考试形式差异 AMC10：75分钟内完成25道选择题。 AIME：3小时内完成15道填空题。 AIME的填空题形式，使得考生无法使用排除法、试数法或度量法，需要深入理解题目，进行逐步推理和计算，掌握相应的知识点和解题技巧。 2️⃣ 知识点覆盖 AIME的知识点与AMC12大部分重合，但前10题多为AMC10/12的核心知识点，而后5题则涉及几何、数论和组合模块，是获得高分的关键。 AIME知识点细分：代数：对数、三角函数、复数与单位根、多项式的根、圆锥曲线、三维坐标系、多重数列求和。几何：三角形的多心问题、根轴与根心、塞瓦定理（Mass point方法）、位似变换、圆幂、圆内接四边形、内心与圆外切四边形、正余弦定理、Stewart定理。数论：高次同余方程、指数型同余计算问题、线性不定方程、中国剩余定理。组合：无穷时间状态的期望问题、标数递推、生成函数计数、递推计数、插板法。 3️⃣ 考察侧重点 AIME不侧重于性质或公式的套用，而是注重解题的灵活性和技巧性。例如，代数中需要掌握整体代换、因式分解、递推方法、对称式和轮换式、自相似、代数式几何含义等技巧。交叉领域的题目涉及多个模块的知识点。

初中数学几何辅助圆模型全解析 𐟎ŽŒ握这些技巧，轻松超越同龄人！建议打印收藏！在初中数学中，圆是唯一一个曲线图形，除了其基本性质和计算常被考察外，还可以用作辅助线。𐟐𐠥œ訧㩢˜过程中，除了等腰三角形和直角三角形，我们还可以使用“两圆一垂”和“两垂一圆”方法。特别是在涉及动点相关的最值问题时，这些方法特别常用。 𐟑‘ 这时候我们需要的圆其实并不存在，这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出来，画出来，对于大家在解答初中数学题目时帮助巨大。 𐟙‹𐟙‹ 今天总结了一套初中数学中可以添加辅助圆模型的方法，建议大家先看文字，建立起来一个宏观感受之后，再收藏打印下来，希望能给各位带来帮助。 1⃣️ 利用圆的定义添补辅助圆 ✅ 到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法。简而言之，就是三点及三点以上到同一点距离相等，作辅助圆。 2⃣️ 作三角形的外接圆 ✅ 任意不在同一直线上的三点共圆，但我们最常见到的确实是利用圆周角定理的推论，直角三角形在以斜边为直径的圆上。 3⃣️ 四点共圆 ✅ 【若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆】这是由书上圆内接四边形对角互补的性质拓展出来的一个应用，前者在中考中出现频率特别大，‼️ 只要出现了内接和四边形等字眼，一定要想着去应用这条性质‼️ 而由此拓展出来的一条判定四点共圆的方法在我们解决线段长度和最值相关的问题时，特别好用。 ✅ 【同底同侧有相等顶角的三角形，则各顶点四点共圆】（若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。）判断四点共圆后，就可以借助过这四点的辅助圆解题。这也是我们非常常见的一类共圆问题，还可以拓展到利用圆来构造相等的角。 𐟍Ž⭐️ 初中数学中的辅助圆模型能够给大家带来不同的解题思路，在今后高中数学的学习中也能给大家带来启发。

初中数学几何辅助线全攻略，轻松打印！今天为大家带来一份初中数学几何辅助线的详细汇总，包括解直角三角形、四边形、与圆有关的辅助线以及全等三角形等常见辅助线的类型。希望这些内容能帮助大家在数学学习中取得更好的成绩。 𐟔 解直角三角形常用辅助线这些辅助线可以帮助我们快速解决锐角三角函数和平面图形认识中的难题，如15Ⱓ€75Ⱓ€105Ⱓ€120Ⱓ€135Ⱓ€150Ⱗ퉩ž常规角度的问题。 𐟔 四边形中常作辅助线通过这些辅助线，我们可以更好地运用内割外补思想构造特殊三角形和四边形，培养添辅助线的意识。 𐟔 与圆有关的辅助线类型连半径构造圆心角构造同弧所对的圆周角构造圆的内接四边形构造特殊三角形与垂径定理有关的辅助线与切线有关的辅助线内切圆与外接圆常作的辅助线辅助圆中考切线真题辅助线 𐟔 全等辅助线与角平分线有关截取法构造全等延长垂线构造全等倍长中线构造全等作平行线构造全等旋转法构造全等 𐟔 数学提分小技巧课堂听讲理解胜于记笔记：数学是一门靠理解的学科，更侧重于能听得懂以及听的全。记笔记可以选择性记录，不是一味的全部写，如果对笔记的完整性有要求，可以在课间完成。学会思考和提问：例题的作用是促进我们思考和巩固知识点。会一道题可以知其然知其所以然，便于举一反三，对于不同的经典例题一定要吃透。定期复习错题：定期复习和重做错题，效果会比想象的好很多。希望这些内容能帮助大家在数学学习中取得更好的成绩！

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