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费马点最值问题权威发布_费马点证明方法有图(2024年11月动态更新)

内容来源：莱茵河北极图库所属栏目：导读更新日期：2024-11-28

费马点最值问题

#新年第一课# 2023年中考最值问题，最常考的六个模型： 1.将军饮马模型；2.费马点模型；3.阿氏圆模型；4.胡不归模型；5.隐圆模型；6.瓜豆原理。同学们要有针对性的学习掌握，并加以练习。

数学学习方法分享：从教师角度出发大家好，今天我想和大家聊聊数学学习的方法。好成绩是每个学生的目标，但很多时候，我们努力了却看不到进步，甚至不知道该怎么努力。其实，很多时候问题出在学习方法上。下面，我就以数学为例，给大家分享一些我的个人经验。有自己的想法 𐟒튩斥…ˆ，面对一道题目时，不管你的思路是否正确，都要有自己的想法。不能读完题目就觉得做不出来，直接跳过，等着老师讲解。即使你听懂了老师的解法，下次遇到类似题目还是不会做，因为你的“思考盲点”没有解决。自己都不清楚卡在哪个节点，自然无法对症下药。费曼技巧 𐟓š 所谓费曼技巧，就是用你自己的语言讲清楚一道题目，让别人一听就明白。老师们讲完难点后，常常会要求同学们进行整理。但如果你只停留在整理答案的层面，那你还停留在浅层学习。解法技巧仍不属于你，稍加变形，你就束手无策，更别提把方法创造性地应用在其他地方。例如，前段时间我们练习费马点问题，可以从以下几个角度去整理：费马点问题是解决什么的为什么与三个顶点的夹角等于120度的点就是费马点任意一个三角形，如何画出它的费马点最小值问题如何解决（通常并不需要找到具体的费马点位置）深度学习一定是加入了自己的思考，进行知识加工而非知识搬运。在拉伸区进行练习 𐟏‹️‍♂️ 学习能力圈分三个层次：舒适区、拉伸区和困难区。处于舒适区，低效重复，成长极其缓慢；处于困难区，望而却步，容易放弃。只有在拉伸区练习，才能快速进步。我们身边都有这样一些同学，看似很努力，总是在刷题，但是只刷自己会做的。刷了几套试卷，会做的题目又练了好几遍，但是不会的题目一个也没有解决。努力足以感动自己，就是不见进步，原因就是一直在舒适区徘徊，能力并没有得到锻炼。还有这样一部分同学，想着自己成绩不好，于是给自己安排满满的计划，每天做一张试卷或者做几道难题，以为这样可以快速赶超。实际上能坚持两三天就不错了，因为选择的题目与自己的能力不匹配，又痛苦又无法提高。真正有效的练习，应该是做那些有点思路但又无法一下子解出来的题目。这才是能让自己能力点快速增长的地方。注重反馈 𐟓Š 反馈是自我驱动的有效手段。负面反馈能帮助我们准确找到努力方向；正向反馈可以不断自我激励，调动主动性。行动、实践 𐟒ꊤ𛻤𝕦–𙦳•都需要通过自己的实践不断调整、完善。做中思，思中做。希望这些方法能对大家有所帮助！

𐟔 几何最值问题的四大类型及其解法几何最值问题可以分为四种类型：费马点、胡不归模型、阿氏圆模型和瓜豆原理。以下是这四种类型的详细介绍及其解法：费马点 𐟏… 费马点问题主要出现在等腰三角形、等边三角形和直角三角形中。加权费马点：当轨迹为直线时，运用“胡不归模型”求解。求PA+kPB的最小值问题时，当轨迹为圆形时，运用“阿氏圆模型”求解。胡不归模型 𐟚𖢀♂️𐟚𖢀♀️ 胡不归模型适用于两点在圆外或两点在圆内的情况。模型介绍：从前有一位姓胡的小伙外出学习，当他得知父亲病危的消息时，决定立即回家。由于他所在求学的地方与家之间布满了砂石，他选择了最短的路线回家。解法：假设通过驿道速度为v1米/秒，通过砂石区域速度为v2米/秒（v1>v2），小伙子需要在直线m上选取一点C，再折往至B，求点C在何处时，用时最短(A→C→B）。阿氏圆模型 𐟌 阿氏圆模型适用于所有满足PA=kⷐB（k>1）的点P的轨迹。模型由来：已知平面上两点A、B，则所有满足PA=kⷐB（k>1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。解法：连接动点至圆心O（将系数不为1的线段两端点分别与圆心相连接），即连接OP、OB；计算连接线段OP、OB长度；计算两线段长度的比值OP/OB=k；在OB上截取一点C，使得OC/OP=OP/OB构建母子型相似；连接AC，与圆O交点为P，即AC线段长为PA+K*PB的最小值。瓜豆原理 𐟌𑊧“œ豆原理适用于满足“一定两动、定角、定比”条件的几何问题。模型介绍：在证明过程中，需要满足“一定两动、定角、定比”的条件。解法：证明过程及结论，具体步骤包括连接动点至圆心O（将系数不为1的线段两端点分别与圆心相连接），计算连接线段OP、OB长度；计算两线段长度的比值OP/OB=k；在OB上截取一点C，使得OC/OP=OP/OB构建母子型相似；连接AC，与圆O交点为P，即AC线段长为PA+K*PB的最小值。通过以上四种类型的几何最值问题及其解法，可以帮助你更好地理解和解决相关问题。

𐟐Ž将军饮马的八大模型与例题𐟓– 𐟓Œ**直线型模型**：将军在直线外，马需到直线上饮水。求最短路径，通常作垂线利用垂线段最短原理。 𐟓Œ**两点间路径问题**：将军与马位置不同，需经过固定点如河岸后返回。利用轴对称或构造全等图形求解。 𐟓Œ**围栏问题**：将军在矩形围栏一角，马需到对角饮水再返回。可能用到勾股定理或特殊三角形性质。 𐟓Œ**异侧线段和最小值**：将军在图形一侧，马先到另一侧某点再返回。求两点间往返总距离最小值。 𐟓Œ**同侧线段和最小值**：与异侧相似，但马饮水点和将军同侧。求两者往返距离最小值。 𐟓Œ**线段差最大值**：特定条件下，选择饮水点使两线段长度之差最大。 𐟓Œ**三角形中的将军饮马**：将军在三角形顶点，马到边上饮水再返回。可能用到费马点或三角形性质。 𐟓Œ**多边形内的将军饮马**：将军在多边形内或边上，马到边界某点饮水。在边界上找最优饮水点使总行程最小。

【常考的旋转模型（全）】一、手拉手模型 1.特点：双等腰、顶角相等、共顶点（左底角（左手）&右底角（右手）相连） 2.常见出题形式：等边三角形：结论最多，需理解记忆等腰直角三角形、正方形、普通等腰三角形（此三个结论类似，可一同记忆） 3.解题方法：分别连接2个左底角、2个右底角（左手拉左手、右手拉右手）二、半角模型 1.特点：位置关系：大角小角共顶点、大角两边相等数量关系：小角是大角一半 2.常见出题形式：正方形含半角（正方形ABCD，EAF=45）等腰含半角（分顶角90Ⱓ€120Ⱓ€归纳2𜉊（填空或解答题中常以等腰或正方形为背景，考察线段长或模型的相关计算） 3.解题方法：构造旋转⇒证明全等⇒得到边角关系三、四边形对角互补模型（对角互补+平分大角） 1.特点：任意四边形中有一组对角互补，且这组对角顶点连线平分其中一个角 2.常见出题形式： 90Ⱖ 90Ⱕ﹨璤𚒨᥯𜌤𘀨璨⫥𙳥ˆ† 120Ⱖ 60Ⱕ﹨璤𚒨᥯𜌤𘀨璨⫥𙳥ˆ† 3.解题方法：据角平分线性质作双垂线、构造全等四、费马点模型 1. 特点：费马点为到三个顶点距离之和最小的点 2.常见出题形式：最值问题（由手拉手模型衍生而来，主要考察转化&化归等的思考） 3.解题方法：以ABC三边分别向外作等边连接外面三个顶点与原相对顶点（EA、FB、DC）三线交于P点，即P为费马点五、旋转相似模型 1.特点：图形旋转后构成新相似 2.常见出题形式：几何旋转题型，常见于填空18题 3.解题方法：连接旋转后的对应点，构成新的相似（旋转角相等、旋转边对应成比例） #自我提升指南# #中考加油#

《圆梦未来：初中生数学圆难题攻略，家长必看！》亲爱的家长们，大家好，我是你们的老朋友——六维坐标系。今天，我将为各位揭晓一个让无数家长和孩子头疼的问题：如何攻克初中数学中的“圆”这一难关。【揭开神秘面纱】圆，这个看似简单却内涵丰富的几何图形，为何让众多孩子望而却步？其实，只要掌握正确的方法，就能轻松驾驭这个数学难题。【对症下药，药到病除】下面，我将根据人教版九年级上册第24章圆的课程内容，为家长们一一揭晓教育孩子的妙招： 1. 入门阶段：从圆的基本概念入手，让孩子逐步了解圆的性质和定理。例如，通过实例讲解圆的半径、直径、圆心角等基本概念，让孩子在直观感受中掌握知识点。 2. 实战演练：针对中考数学几何动点最值压轴题型，我们可以从隐形圆、辅助圆问题开始讲解。让孩子在解题过程中，学会运用圆的性质和定理，逐步攻克难题。 3. 拓展提高：进一步学习胡不归问题、费马点问题、阿波罗尼斯圆（阿氏圆）等高级题型。在这个过程中，家长可以鼓励孩子多动脑、多思考，培养他们的创新能力和逻辑思维。【感谢观看，为爱点赞】亲爱的家长们，感谢你们耐心观看。如果您觉得这篇文章对您有所帮助，请不要吝啬您的点赞和转发，让更多的家长和孩子受益！【一键三连，助力孩子圆梦】在此，我还要提醒各位家长，别忘了鼓励孩子一键三连（点赞、评论、转发），让他们的数学之旅更加精彩！【系统学习，成就未来】若想让孩子在数学圆的学习中更上一层楼，推荐使用《圆从入门到精通》视频课程。课程内容丰富，讲解生动，让孩子一听便知课程的好坏。【结尾】让我们一起为孩子的数学圆梦助力，让他们在未来的学习道路上勇往直前，创造辉煌！家长们，加油！视频课程就在下面，点击链接，查看详情，从入门到精通，家长都能够听懂学会，先看第一集课程简介，好不好用，试试便知，祝大家学习愉快！

𐟓费马点数学模型全解析𐟧 𐟤”你是否对费马点模型感到困惑？别担心，我们来一起攻克这个数学难题！𐟒ꊊ𐟓Œ首先，我们要明确什么是费马点模型。它是在几何学中寻找一个点的问题，这个点到三角形的三个顶点的距离之和最小。𐟓 𐟒ᨧ㩢˜步骤来啦： 1️⃣ 确定三角形的类型。如果是锐角三角形，继续下一步；如果是其他类型，需要特殊处理哦。𐟔 2️⃣ 在三角形的每一边上向外作等边三角形。这一步很重要，不要忘了！𐟓 3️⃣ 连接作出的等边三角形的边，它们会相交于一点，这就是我们要找的费马点！𐟎‰ 4️⃣ 连接费马点到三角形的三个顶点，这时PA + PB + PC的值就是最小的啦！𐟒– 5️⃣ 最后，我们需要证明这个点确实是费马点。通过一系列的推理和证明，我们可以确保这个点的正确性。𐟔– 𐟎是不是觉得费马点模型也没那么难呢？只要掌握了正确的解题步骤和技巧，就能轻松应对这类题目啦！加油哦！𐟌Ÿ

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